sistem cerdas minggu 9-12

Inferensi dalam Logika Order Pertama

9.1 Mengubah Inferensi Order Pertama Menjadi Proporsi

 (First Order Predicate Logic)

• Representasi 4 kategori silogisme menggunakan

logika predikat

Kaidah Universal Instatiation merupakan state

dasar, dimana suatu individual dapat digantikan

(disubsitusi) ke dalam sifat universal.

• Contoh :

Misal, φ merupakan fungsi proposisi :

(∀  x) φ(x)

∴ φ(a)

merupakan bentuk yang valid, dimana a menunjukkan

spesifik individual, sedangkan x adalah suatu variabel

yang berada dalam jangkauan semua individu (universal)

• Contoh lain : (∀  x) H(x)

∴ H(Socrates)

• Berikut ini adalah contoh pembuktian formal silogisme

All men are mortal

Socrates is a man

Therefore, Socrates is mortal

Misal : H = man, M = mortal, s = Socrates

1. (∀  x) (H (x) -> M(x))

2. H(s)                                     / ∴   M(s)

3. H(s) -> M(s)                        1 Universal Instatiation

4. M(s)                                     2,3 Modus Ponens

9.2 Unifikasi

Unifikasi adalah usaha untuk mencoba membuat dua ekspresi menjadi identik (mempersatukan keduanya) dengan mencari substitusi-substitusi tertentu untuk mengikuti peubah-peubah dalam ekspresi mereka tersebut. Unifikasi merupakan suatu prosedur sistematik untuk memperoleh peubah-peubah instan dalam wffs. Ketika nilai kebenaran predikat adalah sebuah fungsi dari nilai-nilai yang diasumsikan dengan argumen mereka, keinstanan terkontrol dari nilai-nilai selanjutnya yang menyediakan cara memvalidasi nilai-nilai kebenaran pernyataan yang berisi predikat. Unifikasi merupakan dasar atas kebanyakan strategi inferensi dalam Kecerdasan Buatan. Sedangkan dasar dari unifikasi adalah substitusi.

Suatu substitusi (substitution) adalah suatu himpunan penetapan istilah-istilah kepada peubah, tanpa ada peubah yang ditetapkan lebih dari satu istilah. Sebagai pengetahuan jantung dari eksekusi Prolog, adalah mekanisme unifikasi.

Aturan-aturan unifikasi :

1.     Dua atom (konstanta atau peubah) adalah identik.

2.     Dua daftar identik, atau ekspresi dikonversi ke dalam satu buah daftar.

3.     Sebuah konstanta dan satu peubah terikat dipersatukan, sehingga peubah menjadi terikat kepada konstanta.

4.     Sebuah peubah tak terikat dipersatukan dengan sebuah peubah terikat.

5.     Sebuah peubah terikat dipersatukan dengan sebuah konstanta jika pengikatan pada peubah terikat dengan konstanta tidak ada konflik.

6.     Dua peubah tidak terikat disatukan. Jika peubah yang satu lainnya menjadi terikat dalam upa-urutan langkah unifikasi, yang lainnya juga menjadi terikat ke atom yang sama (peubah atau konstanta).

7.     Dua peubah terikat disatukan jika keduanya terikat (mungkin melalui pengikatan tengah) ke atom yang sama (peubah atau konstanta).

9.3 Generalized Modus Ponens (GMP)

Dalam logika Boolean, dengan aturan `` JIKA X adalah A THEN Y adalah B '', proposisi X adalah A harus diamati untuk mempertimbangkan proposisi Yadalah B.

Dalam logika fuzzy, proposisi `` X adalah A' '', Dekat dengan premis `` X adalah A '' dapat diamati untuk memberikan kesimpulan `` Y adalah B' '' Dekat dengan kesimpulan `` Y adalah B '' .

Sebuah inferensi fuzzy sederhana dapat direpresentasikan sebagai:

Aturan	: JIKA	X adalah A THEN	Y adalah B
Fakta	:	X adalah A'
Kesimpulan	:		Y adalah B'

Untuk menyimpulkan seperti inferensi fuzzy kita menggunakan mekanisme yang disebut umum modus ponens. Di sini, kita menggunakan salah satu berdasarkan implikasi fuzzy Brouwer-Gödel diungkapkan oleh:

Catatan: Asumsikan -> operator implikasi Brouwer-Gödel dan o operator kombinasi, rumus dapat dinyatakan dengan B' = A'o(A-->B) yang kita gunakan sekarang untuk menyederhanakan notasi.

9.4 Rangkaian Forward Chaining dan Backward Chaining

• Chain (rantai) : perkalian inferensi yang

menghubung-kan suatu permasalahan dengan

solusinya.

• Forward chaining :

– Suatu rantai yang dicari atau dilewati/dilintasi dari

suatu permasalahn untuk memperoleh solusi.

– Penalaran dari fakta menuju konklusi yang terdapat

dari fakta.

• Backward chaining :

– Suatu rantai yang dilintasi dari suatu hipotesa tersebut.

– Tujuan yang dapat dipenuhi dengan pemenuhan

sub tujuannya.

• Contoh rantai inferensi :

gajah(x) -> mamalia (x)

mamalia(x) -> binatang(x)

Karakteristik Forward dan Backward chaining 

Forward Chaining

Backward Chaining

PEMBENTUKAN KONSEP, LOGIKA, DAN PENGAMBILAN KEPUTUSAN

Orang yang mengenal ilmu kognitif pasti menafsirkan bahwa kognitif mempelajari cara kerja otak atau kog nisi manusia. Dalam kognisi manusia terdapat ilmu berpikir dan pemikiran. Berpikir merupakan istilah umum dari pemrosesan informasi. Dengan berpikir manusia dapat dikatakan menjadi brillian dan spesies yang mulia. Dengan demikian berpikir, tetang pemikiran atau yang biasa disebut pemikiran- meta, mungkin menjadi salah satu tugas yang sulit ditanggulangi, karena mengaitkan seluruh tema yang telah disebutkan sebelumnya deteksi energi eksternal, neurofisiologi, pesepsi, memori, bahasa, pertandingan ,dan pribadi yang berkembang.

Dalam buku solso dikatakan Berpikir adalah proses yang membentuk representasi yang membentuk mental baru melalui transformasi informasi oleh interaksi kompleks dari atribusi mental yang mencangkup pertimbangan, pengabstrakkan, penalaran, pengkambaran pemecahan masalah logis, pembentukan konsep,kreativitas dan kecerdasan.

Ada 3 ide dasar tentang berpikir:

1. Berpikir adalah kognitif yang terjadi secara “internal”, dalam pemikiran umum, namun keputusan diambil lewat perilaku.
2. Berpikir adalah proses yang melibatkan beberapa manipulasi pengetahuan dalam sistem kognitif
3. Berpikit bersifat langsung dan menghasilkan perilaku yang “memecahkan” masalah atau langsung menuju pada solusi.

Untuk awal pemrosesan informasi dalam proses berpikir yaitu pembentukan konsep. Pembentukan konsep berhubungan dengan pengasahan sifat-sifat yang sesuai dengan kelas objek atau ide. Untuk itu dalam pemahaman konsep memerlukan visual dan prototipe dan satuan semantik. Dalam kognisi manusia ketika mengalami pembentukan konsep ada istilah konsep formasi. Konsep formasi melibatkan bentuk yang tajam untuk mengklasifikasikan objek dan pencarian tata cara yang relevan dengan konsep tersebut. Aktifitas kognitif melibatkan proses-proses penting meliputi belajar, Asosiasi, dan pengujian hipotesis.

Asosiasi memang teori tertua yang paling berpengaruh dalam pembentukan konsep, yang diketahui sebagai asosiasisme. Prinsip asosiasi mengendalikan bahwa pembelajaran konsep adalah hasil dari:

1. Menguatkan pasangan tepat dari sebuah stimulus (misalnya kotak merah) dengan respon yang mengidentifikasinya sebagai sebuah konsep,
2. Non penguatan (bentuk hukuman) pasangan yang tidak tepat dari sebuah stimulus (contohnya lingkaran merah) dengan respons untuk mengidentifikasinya sebagai konsep.

Sesudah stimusul mengalami proses asosiasi maka sebuah stimulus akan berada pada tahap pengujian hipotesis. Tahap ini adalah tahap awal dari pembentukan konsep dimana pemilihan hipotesis atau strategi yang konsisten dengan objek penyelidikan kita.

Startegi  untuk formulasi dan pengujian hipotesis selama formasi konsep meliputi scanning dan fokus pada prosedur, dengan fokus pada teknik (hampir sama dengan prosedur ilmiah) yang menjadi lebih efektif dari pada strategi scanning.

LOGIKA

Logika merupakan ilmu dalam berpikir, diman berpikir sendiri mempunyai arti proses umum untuk menentukan sebuah isu dalam pikiran. Ketika dua orang dihadapkan pada satu hal yang sma pasti akan ada jawaban yang berbeda dari mereka, yang menjawab dengan logis dan yang satu tidak. Dalam logika sendiri ada dua macam penalaran yaitu penalaran deduktif dan penalaran silogistik.

Penelitian mengenai penalaran deduktif mengindikasikan bahwa kesimpulan silogisme dipengaruhi oleh bentuk presentasi (visual vs verbal), banyaknya alternatif bagi premis umum, bentuk argumen (positif vs negatif), pengetahuan jangka panjang yang menghubungkan dengan masalah, dan level inteligensi problem solver.

PENGAMBILAN KEPUTUSAN

Dalam pengambilan keputusan terdapat penalaran induktif menghasilkan kesimpulan yang sering diapresiasikan pada kemungkinan pernyataan dan kesesuaian lebih pada pengambilan keputusan sehari-hari daripada silogisme atau penalaran deduktif.

Penelitian pada pengambilan keputusan menunjukkan bahwa solusi untuk sesuatu masalah dipengaruhi oleh faktor memori (keberadaan hipotesis), referensi sudut padang yang mempengaruhi formulasi masalah, kegagalan untuk menyadari seberapa samakah sebuah kejadian pada populasinya, dan meremehkan sinifikansi matematis dari kejadian yang mungkin.

  

Bahasa Pemrograman untuk Aplikasi Inteligensi Buatan : Prolog

11.1 DASAR-DASAR PROLOG

Fakta dan Relasi

            Fakta Adalah suatu unit yang selalu bernilai benar,fakta ini merupakan kumpulan data-data objek. Suatu fakta dibedakan dalam 2 jenis, yaitu fakta yang menunjukan relasi dan fakta yang menunjukan milik/sifat, penulisan suatu fakta selalu di akhir dengan (.)

Contoh :

  

Aturan (“Rules”)

            Aturan adalah suatu pernyataan yang menunjukan bagaimana fakta-fakta berinteraksi satu dengan yang lain untuk membentuk suatu kesimpulan. Sebuah aturan dinyatakan sebagai suatu kalimat bersyarat. Kata “if” adalah kata yang dikenal Prolog untuk menyatakan kalimat bersyarat atau disimbolkan dengan “:-“.

Contoh :

Fakta dan Aturan	Prolog
F : Tino suka apel A : Yuli suka sesuatu yang disukai Tino	suka(tino, apel). suka(yuli,Sesuatu) :-  suka(tino,Sesuatu).

Setiap aturan terdiri dari kesimpulan (kepala) dan tubuh. Tubuh dapat terdiri dari 1 atau lebih pernyataan atau aturan yang lain, disebut subgoal dan dihubungkan dengan logika “and”. Aturan memiliki sifat then/if conditional “Kepala(head) benar jika tubuh (body) benar”.

Pertanyaan (“Query”)

Setelah memberikan data-data berupa fakta dan aturan, selanjutnya kita dapat mengajukan pertanyaan berdasarkan fakta dan aturan yang ada. Penulisannya diawali simbol “?-“ dan diakhiri tanda “.”.

Contoh :

Pertanyaan	Prolog dan Jawaban Program
Apakah Tini suka boneka ?	?- suka(tini,boneka). Yes ……. (jika faktanya Tini suka boneka) No……..…(jika tidak sesuai fakta).
Apakah yang disukai Tini ?	?- suka(tini,Apa). Apa=boneka
Siapakah yang suka boneka ?	?- suka(Siapa,boneka). Siapa=tini
Dari contoh silsilah keluarga di atas : Siapakah kakek Budi ? Siapakah cucu Slamet ?	?- kakek(Siapa,budi). Siapa=slamet ?- kakek(slamet,Cucu). Cucu=budi ; Cucu=badu (jika kemungkinan ada lebih dari satu jawaban gunakan tanda “;” pada akhir setiap jawaban).

11.2 STRUKTUR PROGRAM PROLOG
Program Prolog terdiri dari :

Domains

Domains menyatakan jenis suatu variabel.

Domains seperti tipe data dalam bahasa prosedural (Pascal,C)

Beberapa domains standar  dalam prolog: char, integer, real, string, symbol.

contoh:

namaBunga = symbol
mataKuliah = string
nilai = integer

Domains char dipakai pada predikat yang argumennya memiliki nilai berupa karakter tunggal,  yaitu abjad,  angka,  pungtuasi (?.!,<,...), dan operasi (+,‐,...). Penulisan argumen bertipe char dalam prolog diapit tanda ’...’.

contoh: nilai (dita, ’A’).

Domains string dipakai pada predikat yang argumennya memiliki nilai berupa karakter jamak yang dapat berupa kata maupun suatu tulisan (kumpulan kata‐kata termasuk di dalamnya pungtuasi dan tanda operasi yang dapat dipisahkan spasi). Penulisan argumen bertipe string dalam prolog diapit tanda ”...”.

contoh: hobi(rina,”Memasak”).

Domains integer dipakai pada predikat yang argumennya memiliki nilai berupa bilangan bulat.

Contoh: nilai(tini,”Kalkulus”,75).

Domains real dipakai pada predikat yang argumennya memiliki nilai berupa bilangan pecahan. Penulisan argumen bertipe real dalam prolog untuk nilai pecahan ditulis di belakang tanda titik (.).

contoh: nilai(ivan, 8.75).

Domains symbol dipakai pada predikat yang argumennya memiliki nilai berupa kumpulan karakter yang hanya terdiri dari huruf atau kata tanpa dipisahkan oleh spasi. Suatu kata  dapat disambungkan dengan kata lain dengan  tanda _ (underscore).

contoh: lelaki(toni_setiawan).
b.  Predicates

 Predicates digunakan untuk mendeklarasikan predikat.

 Penulisan dalam Prolog :

Diawali dengan huruf kecil.
Contoh:
saudara(x,y)
suka(nama,hobi)
manis(x)
c.  Clauses

Clauses digunakan untuk mendefinisikan predikat.

Clauses terdiri dari fakta dan aturan:

1.  Fakta
Fakta merupakan suatu kenyataan atau kebenaran yang diketahui.
Fakta menyatakan hubungan/relasi antara dua obyek atau lebih atau menunjukkan sifat suatu obyek.
Penulisan dalam Prolog :
Diawali dengan huruf kecil dan diakhiri dengan tanda titik.
Contoh :
saudara(tina,tini).
suka(lia,menyanyi).
manis(gula).
2.  Aturan
Aturan penulisan :
If ditulis sebagai  ‘titik dua + strep’ (:‐)
And ditulis sebagai  ‘koma’ (,)
Or ditulis sebagai ‘titik koma (;)
d.  Goal

Goal adalah tempat pernyataan (query) diberikan atau meminta prolog untuk

mencapai tujuan yang dikehendaki.

STUDI KASUS :

sumber : https://www.academia.edu/9763118/Metode_Inferensi_1_54_Pengantar_Kecerdasan_Buatan_AK045218

http://portal.survey.ntua.gr/main/labs/rsens/DeCETI/IRIT/GEODES/node18.html

http://larasdewilaras.blogspot.co.id/2016/12/inferensi-dalam-logika-order-pertama.html

http://gofagofaa.blogspot.co.id/2016/12/bahasa-pemrograman-untuk-aplikasi.html

https://psykognitif.wordpress.com/2016/12/07/pembentukan-konsep-logika-dan-pengambilan-keputusan-18/amp/

SISTEM CERDAS

SISTEM CERDAS

POKOK BAHASAN :   METODE PENCARIAN DAN PELACAKAN 2 (HEURISTIK)

5.1 BEST FIRST SEARCH 

        Pencarian terbaik pertama (Best First Search) merupakan suatu cara yang menggabungkan keuntungan atau kelebihan dari pencarian Breadth-First Search dan Depth-First Search.

Pada setiap langkah proses pencarian terbaik pertama, kita memilih node-node dengan menerapkan fungsi heuristik yang memadai pada setiap node/simpul yang kita pilih dengan menggunakan aturan-aturan tertentu untuk menghasilkan penggantinya.

5.2 Problem Reduction

       Ketika masalah dapat dibagi menjadi serangkaian sub masalah, di mana masing-masing sub masalah dapat diselesaikan secara terpisah dan kombinasi ini akan menjadi solusi, DAN-OR grafik atau AND - OR pohon digunakan untuk mewakili solusi. Dekomposisi masalah atau masalah pengurangan menghasilkan DAN busur. Satu DAN yang mungkin menunjukkan sejumlah node penggantinya. Semua ini harus diselesaikan sehingga busur akan naik ke banyak busur, menunjukkan beberapa solusi yang mungkin. Maka grafik ini dikenal sebagai DAN - OR bukannya DAN. Gambar menunjukkan DAN - OR grafik.

5.3 Constraint Satisfaction
         Merupakan masalah matematika didefinisikan sebagai satu set objek yang negara harus memenuhi sejumlah kendala atau keterbatasan. CSP mewakili entitas dalam masalah karena koleksi homogen kendala terbatas lebih variabel, yang diselesaikan dengan metode kepuasan kendala. CSP adalah subjek penelitian intensif di kedua kecerdasan dan riset operasi buatan, karena keteraturan dalam formulasi mereka memberikan dasar umum untuk menganalisis dan memecahkan masalah dari banyak keluarga yang tampaknya tidak berhubungan. CSP sering menunjukkan kompleksitas tinggi, membutuhkan kombinasi heuristik dan metode pencarian kombinasi yang harus diselesaikan dalam waktu yang wajar. Masalah satisfiability Boolean (SAT), teori-teori satisfiability modulo (SMT) dan menjawab mengatur pemrograman (ASP) secara kasar dapat dianggap sebagai bentuk tertentu dari masalah kepuasan kendala.

5.4 Means End Analysis

          Sarana-Ends Analysis (MEA) adalah teknik pemecahan masalah yang umum digunakan dalam Artificial Intelligence (AI) untuk membatasi pencarian dalam program AI.

Ini juga merupakan teknik yang digunakan setidaknya sejak tahun 1950-an sebagai alat kreativitas, paling sering disebutkan dalam buku rekayasa pada metode desain. MEA juga terkait dengan Sarana-Ends Pendekatan Rantai digunakan umumnya dalam analisis perilaku konsumen. Ini juga merupakan cara untuk memperjelas pikiran seseorang ketika memulai sebuah bukti matematis.

POKOK BAHASAN : RESPRESENTASI PENGETAHUAN

 6  REPRESENTASI PENGETAHUAN

Representasi pengetahuan adalah cara untuk menyajikan pengetahuan yang diperoleh ke dalam suatu skema/diagram tertentu sehingga dapat diketahui relasi antara suatu pengetahuan dengan pengetahuan yang lain dan dapat dipakai untuk menguji kebenaran penalarannya.

Secara teknik kita akan membahas representasi pengetahuan menjadi lima kelompok:

1.    Representasi Logika

2.    Jaringan Semantik

3.    Frame

4.    Script (Naskah)

5.    Aturan Produksi (Kaidah Produksi)

    

1.    Representasi Logika

Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar sehingga didapatkan kesimpulan yang absah.

Tujuan dari logika: memberikan aturan-aturan penalaran sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar atau salah.

Representasi Logika dibagi menjadi dua:

1. Propositional Logic (Logika Proposisi)

Suatu Proposisi merupakan suatu statemen atau pernyataan yang menyatakan benar (TRUE) atau salah (FALSE). Dalam PropositionalLogic fakta dilambangkan dengan simbol misalnya P, Q dan R.Lambang-lambang tersebut dihubungkan dengan relasi-relasi logika

Dengan menggunakan operator logika:

Tabel Kebenaran Logika

2. Predicate Logic (Logika Predikat)

Pada logika predikat proposisi dibedakan menjadi argumen (obyek) dan predikat (keterangan). Secara umum penulisan proposisi dalam logika predikat dapat dinyatakan sebagai berikut:

Predikat (argumen-1, argumen-2,..., argumen-3)

Contoh:

Proposisi: “Bu Atika mencintai Pak Agus Setiawan”

Dalam logika predikat disajikan dalam bentuk:

Mencintai (Bu Atika, Pak Agus Setiawan)

      P         Argumen-1            Argumen-2

Contoh Silsilah Keluarga yang dipresentasikan dalam Prolog

Jika silsilah di atas dibentuk dalam Representasi Logika, sebagai berikut:

Orangtua (Komarudin, Andika)

Orangtua (Komarudin, Atika)

Orangtua (Komarudin, Agus)

Orangtua (Andika, Rika)

Orangtua (Atika, Anjar)

2.        Jaringan Semantik

Pengetahuan disusun dalam sebuah jaringan yang memiliki komponen utama:

-            Node: menyatakan obyek, konsep, atau situasi. Dinyatakan dengan kotak atau lingkaran

-            Arcs/Link: Menyatakan hubungan antar node. Dinyatakan dengan tanda panah.

3.    Frame

Frames: merupakan semantic net dilengkapi dengan properties. Suatu Frame menggambarkan entitas sebagai set dari attribute dan nilai yang bersesuaian. Suatu frame dapat berelasi dengan frame yang lainnya.

Tiga komponen utama dari frame

•         frame name

•         attributes (slots)

•         values (subslots)

Book Frame

Slot à Subslots

Title     à AI. A modern Approach Author à Russell & Norvig Year    à 2003

Contoh di atas dibentuk dalam Frame:

Nama Frame: Burung
Orangtua	Hewan
Anak	Kenari, Pipit
Mempunyai	Sayap
Cara Berpindah tempat	Terbang

4.    .    Script (Naskah)

Conceptual Dependency (ketergantungan konseptual) adalah teori tentang bagaimana mempresentasikan pengetahuan tentang event (kejadian) yang biasanya terkandung dalam kalimat bahasa natural.

Contoh: representasi Conceptual Dependency

“Budi memberi Atika sebuah buku”

Script adalah skema representasi pengetahuan yang menggambarkan urutan-urutan kejadian (sequence of events). Script dilengkapi dengan elemen-elemen agar lebih memudahkan dalam memahami urutan kejadian.

a.         Track/Jalur: variasi yang mungkin terjadi dalam script

b.        Kondisi Input: situasi yang harus dipenuhi sebelum sesuatu kejadian terjadi

c.         Prop/Pendukung: objek pendukung yang digunakan dalam urutan peristiwa yang  

       terjadi

d.        Role/Peran: orang-orang yang terlibat dalam suatu peran

e.         Scene/Adegan: urutan peristiwa aktual

f.          Hasil: kondisi akhir yang terjadi setelah urutan peristiwa dalam script terjadi

5.    Aturan Produksi (Kaidah Produksi)

Pengetahuan dalam kaidah produksi direpresentasikan dalam bentuk

       JIKA [kondisi] MAKA [Aksi]

       JIKA [premis] MAKA [Konklusi]

Aturan Produksi (kaidah produksi) adalah salah satu representasi pengetahuan yang menghubungkan premis dengan konklusi.

Bentuknya: If Premis Then Konklusi

Konklusi pada bagian then bernilai benar jika premis pada bagian if bernilai benar.

Contoh:

If  hari ini hujan then saya tidak kuliah.

  

POKOK BAHASAN : REPRESENTASI PENGTEAHUAN : LOGIKA PROPOSISI

           

1. LOGIKA DAN SET

Representasi pengetahuan dengan symbol logika merupakan bagian dari penalaran eksak. Bagian yang paling penting dalam penalaran adalah mengambil kesimpulan dari premis. Logika dikembangkan oleh filusuf Yunani, Aristoteles (abad ke 4 SM) didasarkan pada silogisme, dengan dua premis dan satu konklusi.

Contoh :

• Premis : Semua laki-laki adalah makhluk hidup 
• Premis : Socrates adalah laki-laki 
• Konklusi : Socrates adalah makhluk hidup

Cara lain merepresentasikan pengetahuan adalah dengan Diagram Venn.

Diagram Venn merepresentasikan sebuah himpunan yang merupakan kumpulan objek.

Objek dalam himpunan disebut elemen. 

• A ={1,3,5,7} 
• B = {….,-4,-2,0,2,4,…..} 
• C = {pesawat, balon}

Symbol epsilon ε menunjukkan bahwa suatu elemen merupakan anggota dari suatu himpunan, contoh : 1 ε A . Jika suatu elemen bukan anggota dari suatu himpunan maka symbol yang digunakan ∉, contoh : 2 ∉ A.

Jika suatu himpunan sembarang, misal X dan Y didefinisikan bahwa setiap elemen X merupakan elemen Y, maka X adalah subset dari Y, dituliskan : X ⊂ Y atau Y ⊃ X.

Operasi-operasi Dasar dalam Diagram Venn:

• Interseksi (Irisan)

C = A ∩ B C = {x ∈ U | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
Dimana :
∩ menyatakan irisan himpunan
| dibaca “sedemikian hingga”
∧ operator logika AND

• Union (Gabungan)

C = A ∪ B C = {x ∈ U | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
Dimana :
∪ menyatakan gabungan himpunan
∨ operator logika OR

• Komplemen 

A’ = {x ∈ U | ~(x ∈ A) }
Dimana :
’ menyatakan komplemen himpunan
~ operator logika NOT

2. OPERATOR LOGIKA

Operator Boolean atau Operator Logika adalah operator yang digunakan untuk melakukan operasi logika yaitu operator yang menghasilkan nilai TRUE (benar) atau FALSE (salah).
Bebarapa macam operator logika antara lain:

1. and : menghasilkan nilai TRUE jika kedua operand bernilai TRUE
2. or : menghasilkan nilai TRUE jika salah satu operand bernilai TRUE
3. xor : menghasilkan nilai TRUE jika salah satu operand bernilai TRUE tetapi bukan keduaduanya bernilai TRUE
4. ! : mengasilkan nilai tidak TRUE
5. && : menghasilkan nilai TRUE jika kedua operand bernilai TRUE
6. || : menghasilkan nilai TRUE jika salah satu operand bernailai TRUE

3. TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN CONTINGENT

• Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

1. Tono pergi kuliah
2. Tini pergi kuliah
3. Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

1. A → B (Premis)
2. C → B (premis)
3. (A V C) → B (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk:

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

• (p ʌ ~q) p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.

• [(p q) ʌ p] p q

Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                   (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p q) ʌ p] p q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

(p ʌ q) q

Penyelesaian:

(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q

~p v ~q v q

~p v T

T .............(Tautologi)

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi.

q (p v q)

penyelesaian:

q (p v q) ~q v (p v q)

~q v (q v p)

T v p

T ............(Tautologi)

• Kontradiksi

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh dari Kontradiksi:

• (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

• P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

• Contingent

Contingent (Kontingensi) adalah semua pernyataan majemuk yang bukan merupakan tautologi atau kontradiksi. Dengan kata lain, pada kontingensi nilai kebenarannya ada yang benar dan ada yang salah. Berikut sebuah contoh pernyataan  majemuk kontingensi

Pada tabel di atasdapat dilihat bahwa:

~(p => 1)^ (p ^ ~q = S B S S

Dengan demikian, pernyataan bukan tautologi dan bukan kontradiksi melainkan sebuah kontingensi.

4. RESOLUSI LOGIKA PROPSISI

Disebut juga kalkulus proposisi yang merupakan logika simbolik untuk memanipulasi proposisi. Proposisi merupakan pernytaan yang dapat bernilai benar atau salah.

Operator logika yang digunakan :

Kondisional merupakan operator yang analog dengan production rule. 

• • Contoh 1 : “ Jika hujan turun sekarang maka saya tidak pergi ke pasar” Kalimat di atas dapat ditulis : p Æ q Dimana : p = hujan turun q = saya tidak pergi ke pasar 
• • Contoh 2 : p = “Anda berusia 21 atau sudah tua” q = “Anda mempunyai hak pilih” 

Kondisional p Æ q dapat ditulis/berarti :

POKOK BAHASAN : REPRESENTASI PENGETAHUAN, LOGIKA PREDIKAT

1.      Fungsi-fungsi Logika Predikat

Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856) dengan doktrinnya dinamakan “Quantification Theory”. Oleh karena itu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang ditambah dengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran.

Logika adalah pada pembuktian validitas suatu argument logika proposional dengan berbagai teknik yang relevan. Yaitu menggunakan table kebenaran sebagai dasar pembuktian dan dan juga menggunakan hukum-hukum logika. Logika proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataan-pernyataan yang sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Akan tetapi logika proposisional saja ternyata belum mampu menangani argumen-argumen yang berisi pernyataan-pernyataan yang rumit dan sering dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Sebagai contoh, perhatikan argumen berikut:

Contoh 1:

1)      Semua gajah mempunyai belaka

2)      Dumbo seekor gajah

3)      Dengan demikian, Dumbo memiliki belalai.

Tanpa perlu dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti mengatakan argumen tersebut valid karena dengan jelas kesimpulan mengikuti premis-premisnya. Akan tetapi bagaimana cara membuktikannya? Tentunya menggunakan logika proposisional.

ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKAT

Validitas sebuah argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip dengan contoh perhatikan contoh argumen berikut:

Contoh 2:

1)      Semua mahasiswa pasti pandai

2)      Badu seorang mahasiswa

3)      Dengan demikian, Badu pandai

Secara nalar, kebanyakkan orang akan menilai bahwa argumen di atas mempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin dibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logika proposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya :

A = Semua mahasiswa pasti pandai

B = Badu seorang mahasiswa

C = Badu pasti pandai

Selanjutnya akan menjadi seperti berikut :

A

B

_____

:. C

Dalam ekspresi logika : (A ˄ B)=>C

Dalam bentuk ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika proposisional yang dapat digunakan  untuk membuktikan validitas argumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara ketiga proposisi yang digunakan diatas. Atau tidak mungkin suatu kesimpulan yang berbeda dapat  dihasilkan dari premis-premis yang berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa C dapat dihasilkan dari premis A dan premis B.

Jika argumen diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional, maka kalimatnya harus diperbaiki. Misal seperti berikut:

Contoh 3:

1)      Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai

2)      Badu seorang mahasiswa

3)      Dengan demikian, ia pasti pandai

Jika diubah dalam bentuk ekspresi logika :

1)      B=>C     premis 1

2)      B             premis 2

3)      C             kesimpulan

Atau dapat juga ditulis : [(B=>C) ˄ B] => C

Dalam logika proposisional, ekspresi logika diatas sudah benar karena kesimpulan diambil dari premispremis. Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semua mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak tertangkap pada argumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa yaitu Badu, bukan semua mahasiswa. Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek. Misalnya orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang.

2.      Logika dan Set Order Pertama

Logika First-Order digunakan dalam ilmu IntelejensiBuatan sebagai Representasi Pengetahuan. Persolan yang ada memiliki pernyataanlebih kompleks lagi tapi dapat diselesaikan dengan Pelacakan Terbalik(Backward)

Contoh:

Diberikanpernyataan sebagai berikut:

1)      Andi adalah seorang mahasiswa

2)      Andi masuk jurusan Informatika

3)      Setiap mahasiswa Informatikapasti mahasiswa Teknik

4)      Kalkulus adalah matakuliah yangsulit

5)      Setiap mahasiswa teknik pastiakan suka kalkulus atau akan membencinya

6)      Setiap mahasiswa pasti akansuka terhadap suatu matakuliah

7)      Mahasiswa yang tidak pernahhadir pada kuliah matakuliah sulit, maka mereka pasti tidak suka terhadapmatakuliah tersebut

8)      Andi tidak pernah hadir kuliahmatakuliah kalkulus.

Buktikan Apakah Andi suka matakuliah kalkulus?

Jawab:

Ubah pernyataan menjadi bentuk formula:

1)      mahasiswa(Andi)

2)      Informatika(Andi)

3)      x: Informatika(x)Teknik(x)

4)      sulit(kalkulus)

5)      x: Teknik(x)suka(x, kalkulus)  benci(x, kalkulus)

6)      x: y: suka(x,y)

7)      x: y: mahasiswa(x)sulit(y)hadir(x,y) suka(x,y)

8)      hadir(Andi,kalkulus)

Pernyataan Apakah Andi suka matakuliah kalkulus = suka(Andi,kalkulus)

Dilakukan Backward /Pelacakan dari belakang seperti yang biasa diterapkan pada ilmu ArtificialIntelegence atau Intelejensi Buatan dengan cara berikut:

suka(Andi,kalkulus)

Substitusi

mahasiswa(Andi)

sulit(kalkulus)

hadir(Andi,kalkulus)

3.      Quantifier Universal

Dalam logika predikat , quantifieri universal merupakan jenis quantifier , sebuah konstanta logis yang ditafsirkan sebagai “diberi” atau “untuk semua”. Ini mengungkapkan bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh setiapanggota dari domain wacana. Dalam istilah lain, itu adalah predikasi dari properti atau hubungan dengan setiap anggota domain. Ini menegaskanbahwa predikat dalam lingkup dari quantifier universal benar dari setiap nilai dari variabel predikat .

Hal ini biasanya dilambangkan dengan berbalik A (∀) operator logika simbol, yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel predikat, disebut quantifier universal  (“∀x”, “∀ (x)”, atau kadang-kadang dengan “(x) “saja). Kuantifikasi Universal berbeda dari kuantifikasi eksistensial (“ada ada”), yang menegaskan bahwa properti atau relasi hanya berlaku untuk setidaknya satu anggota dari domain.

Contoh 1 :

(∀x) (x + x = 2x)

“untuk setiap x (dimana x adalah suatu bilangan), kalimat x + x = 2x adalah benar.”

Contoh 2 :

(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing -> x adalah binatang).

Kebalikan kalimat “bukan kucing adalah binatang” ditulis :

(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing -> ~x adalah binatang)

dan dibaca :

– “setiap kucing adalah bukan binatang”

“semua kucing adalah bukan binantang”

Contoh 3:

(∀x) (Jika x adalah segitiga -> x adalah polygon)

Dibaca : “untuk semua x, jika x adalah segitiga, maka x adalah polygon”.

Dapat pula ditulis : (∀x) (segitiga(x) -> polygon(x))

(∀x) (T(x) -> P(x))

Contoh 4 :

(∀x) (H(x) -> M(x))

Dibaca : “untuk semua x, jika x adalah manusia (human), maka x melahirkan (mortal)”.

Ditulis dalam aturan : IF x adalah manusia THEN x melahirkan.

4.      Quantifier Existensial

Dalam logika predikat , suatu quantifier eksistensial adalah jenis quantifier , sebuah konstanta logis yang ditafsirkan sebagai “ada ada,” “ada setidaknya satu,” atau “untuk beberapa.” Ini mengungkapkan bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh setidaknya satu anggota dari domain wacana . Dalam istilah lain, itu adalah predikasi dari properti atau hubungan dengan setidaknya satu anggota dari domain. Ini menegaskan bahwa predikat dalamlingkup dari quantifier eksistensial adalah benar dari setidaknya satu nilai darivariabel predikat .

Hal ini biasanya dilambangkan dengan E berubah (∃) operator logika simbol, yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel predikat, disebut quantifier eksistensial (“∃x” atau “∃ (x)”) Kuantifikasi eksistensial.

Contoh 1 :

(∃x) (x . x = 1)

Dibaca : “terdapat x yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya sama dengan 1.”

Contoh 2 :

(∃x) (gajah(x) ∧ nama(Clyde))

Dibaca : “beberapa gajah bernama Clyde”.

Contoh 3 :

(∀x) (gajah(x) -> berkaki empat(x))

Dibaca : “semua gajah berkaki empat”.

Universal quantifier dapat diekspresikan sebagai konjungsi.

(∃x) (gajah(x) ∧ berkaki tiga(x))

Dibaca : “ada gajah yang berkaki tiga”

Existensial quantifier dapat diekspresikan sebagai disjungsi dari

urutan ai. P(a1) ∨ P(a2) ∨ P(a3) …∨ P(aN)

5.      Resolusi Logika Predikat

Tujuan dasar resolusi adalah membuat infer klausa baru yang disebut “revolvent” dari dua klausa lain yang disebut parent clause.

Contoh :

A Ú B

A Ú ~B

\ A

Premis dapat ditulis :   (A Ú B) Ù (A Ú ~B)

Ingat Aksioma Distribusi :

p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú q)

Sehingga premis di atas dapat ditulis :

(A Ú B) Ù (A Ú ~B) º A Ú (B Ù ~B) º A

dimana B Ù ~B selalu bernilai salah

Tabel Klausa dan Resolvent

Parent Clause	Resolvent	Arti
p à q   , p atau ~p Ú q, p	Q	Modus Pones
p à q , q à r atau ~p Ú q, ~ q Ú r	p à r atau ~p Ú r	Chaining atau Silogisme Hipotesis
~p Ú q, p Ú q	Q	Penggabungan
~p Ú ~q,  p Ú q	~p Ú p atau ~q Ú q	TRUE (tautology)
~p, p	Nill	FALSE (kontradiksi)

SISTEM RESOLUSI DAN DEDUKSI

Refutation adalah pembuktian teorema dengan menunjukkan negasi atau pembuktian kontradiksi melalui reductio ad absurdum.

Melakukan refute berarti membuktikan kesalahan.

Contoh :

A à B

B à C

C à D

A à D

Untuk membuktikan konklusi A à D  adalah suatu teorema melalui resolusi refutation, hal yang dilakukan :

p à q    º    ~p Ú q

sehingga 

Aà D    º    ~A Ú D

dan langkah terakhir adalah melakukan negasi

             ~(~A Ú D) º     A Ù ~D

Penggunaan konjungsi dari disjunctive form pada premis dan negasi pada konsklusi, memberikan conjuctive normal form yang cocok untuk resolusi refutation.

Dari contoh di atas, penulisannya menjadi :

(~A Ú B) Ù (~B Ú C) Ù (~C Ú D) Ù A Ù ~D

Akar bernilai nill, menunjukkan kontradiksi. Sehingga melalui refutation dapat ditunjukkan konklusi asli (awal) adalah teorema dengan peran kontradiksi.

RESOLUSI PADA PROPOSISI DAN PREDIKAT

1)      Resolusi pada Logika Proposisi

Menggunakan resolusi yaitu suatu teknik pembuktian yang lebih efisien, sebab fakta-fakta yang akan dioperasikan terlebih dahulu dibawa ke bentuk standar yang sering disebut dengan nama klausa.Pembuktian suatu pernyataan menggunakan resolusi ini dilakukan dengan cara menegasikan pernyataan tersebut, kemudian dicari kontradiksinya dari pernyataan-pernyataan yang sudah ada.

Algoritma konversi ke bentuk klausa :

a.       Eliminir a → b menjadi ¬ a v b

b.      Reduksi skope dari ¬ sebagai berikut :

¬ (¬ a ^ b) ¬ a v ¬ b   

¬ (¬ a v b) ¬ a ^ ¬ b

¬ x : P(x) x : ¬ P(x)

¬ x : P(x) x : ¬ P(x)

2)      Resolusi pada Logika Predikat

Logika predikat sebenarnya adalah logika proposional ditambah dengan hal-hal baru seperti kuantor, universe of discourse, term, predikat dan fungsi.

Resolusi pada logika predikat pada dasarnya sama dengan resolusi pada logika proposisi, hanya saja ditambah dengan unifikasi.Pada logika predikat, prosedur untuk membuktikan pernyataan P dengan beberapa pernyataan F yang telah diketahui, dengan menggunakan resolusi, dapat dilakukan melalui algoritma sebagai berikut :

a.       Konversikan semua proposisi F ke bentuk klausa

b.      Negasikan P, dan konversikan hasil negasi tersebut ke bentuk klausa.Tambahkan   kehimpunan klausa yang telah ada pada langkah

c.       Kerjakan hingga terjadi kontradiksi atau proses tidak mengalami kemajuan :

-          Seleksi 2 klausa sebagai klausa parent

-          Bandingkan (resolve) secara bersama-sama. Klausa hasil resolve tersebut  resolvent. Jika ada pasangan literal T dan ¬T2 sedemikian hingga keduanya dapat dilakukan unifikasi, maka salah satu T1 dan T2 disebut sebagai complementary literal. Jika ada lebih dari 1 complementary literal, maka hanya sepasang yang dapat meninggalkan resolvent

-          Jika resolvent berupa klausa kosong, maka ditemukan kontradiksi. Jika tidak, tambahkan ke himpunan klausa yang telah ada

SOURCE :  http://najibzot.blogspot.co.id/p/teknik-searching-kecerdasan-buatan-di.html

                   http://artificialintelligence-notes.blogspot.co.id/2010/07/problem-reduction-with-ao-algorithm.html

                   http://lutfiatulm.blogspot.co.id/2013/03/representasi-pengetahuan.html

                   http://yogipratama97.blogspot.co.id/2016/11/representasi-pengetahuan-logika.html

                         http://adytiamaulana.blogspot.co.id/2016/11/representasi-pengetahuan-logika-predikat.html